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Énigme de la semaine 6

par MOTTIER Pierre

Que reste-t-il ?

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Prenez un triangle équilatéral bleu. Si on enlève le triangle des milieux de ses côtés, on obtient une dentelle de Sierpinski de rang 1. Si on enlève à chacun des triangles bleus restants le triangle des milieux de ses côtés, on obtient une dentelle de Sierpinski de rang 2. Si on continue ainsi, étape par étape, on obtient des dentelles de Sierpinski de rangs supérieurs.

  1. Représenter une dentelle de Sierpinski de rang 3.
  2. Exprimer son aire, c’est-à-dire l’aire de la partie bleue, en fraction de l’aire du triangle initial.
  3. Quel est le rang d’une dentelle de Sierpinski dont l’aire est à peu près égale à 10% de l’aire du triangle initial ?

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Pour un rang 8 l’aire est à peu près égale à 10% de l’aire du triangle initial.

    PJ :

    • 6_triangle_sierpinski.xls : rapport d’aire selon le rang
    • 6_triangle_sierpinski.ggb : dessin du triangle de rang 3

    Notation
    $x$ : longueur du côté du triangle de rang 0
    $h$ : hauteur du triangle de rang 0
    $ A_0 $ : aire du triangle de rang 0

    Calcul de l’aire du triangle de rang 0 :
    $ (\frac {x} {2})^{2} + h^2 = x^{2} $
    $ h = \frac {\sqrt {3}} {2} x $
    $ A_0 = (\frac {\sqrt {3}} {2} x) \frac {x} {2}$
    $ A_0 = \frac {\sqrt {3}} {4} x^{2} $

    Calcul de l’aire du triangle de rang 1 :
    1 triangle de côté $ \frac {x} {2}$ à retirer à $ S_0 $
    $ A_1 = A_0 - \frac {\sqrt {3}} {4} (\frac {x} {2})^{2} A_0 $
    $ A_1 = A_0 - \frac {1} {4} A_0 $
    $ A_1 = \frac {3} {4} A_0 $

    Calcul de l’aire du triangle de rang 2 :
    3 triangles de côté $ \frac {x} {4}$ à retirer à $ S_1 $
    $ A_2 = A_1 - 3 \times \frac {\sqrt {3}} {4} (\frac {x} {4})^{2} A_0 $
    $ A_2 = \frac {3} {4} A_0 - \frac {3} {{4}^{2}} A_0 $
    $ A_2 = (\frac {3} {4})^{2} A_0 $

    Calcul de l’aire du triangle de rang 3 :
    $ {3}^{2}$ triangles de côté $ \frac {x} {8}$ à retirer à $ S_2 $
    $ A_3 = A_2 - {3}^{2} \times \frac {\sqrt {3}} {4} (\frac {x} {8})^{2} A_0 $
    $ A_3 = (\frac {3} {4})^{2} A_0 - \frac {{3}^{2}} {{4}^{3}} A_0 $
    $ A_3 = (\frac {3} {4})^{3} A_0 $

    ...
    Calcul de l’aire du triangle de rang $ \textbf n$ :
    $ A_n = (\frac {3} {4})^{n} A_0 $

    On en déduit d’après les rapports d’aire effectués dans le fichier Excel, que le rapport $ \frac {A_n} {A_0} $ de 10% environ est obtenu pour le rang 8.