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Énigme de la semaine 6

par MOTTIER Pierre

C’est clair !

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Au sous-sol, Pitt’ a équipé son local long de 7 m d’un éclairage fort intéressant : il a installé deux spots halogènes orientables dont chaque faisceau conique a une ouverture de 90 degrés (voir figure ci-dessous).

Le premier spot, placé en plein centre du plafond de la pièce, est orienté de façon à éclairer le sol suivant un disque de 5 m de diamètre.
Le faisceau du second couvre quant à lui la totalité de la longueur du local, sans en éclairer les murs.
Calculer la distance exacte qui sépare les deux spots.

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    La distance entre 2 spots est d’environ 2,45 mètres .

    Notations :
    cf PJ

    Triangles HCD et ABH : (1)
    $ tan(\alpha) = \frac {y} {h} $
    $ tan(\alpha) = \frac {h} {7-y} $

    $\frac {y} {h} = \frac {h} {7-y}$
    $ y (7-y) - h^2 = 0$
    $ y^2 -7y + h^2 = 0$

    Triangle FEG : (2)
    Le triangle correspondant au spot placé au milieu est isocèle. Comme il est droit au sommet les angles de sa base sont égaux (=45°)
    $ tan(45) = \frac {h} {\frac{5} {2}} $
    $ tan(45) = 1 $

    $ h = \frac {5} {2} $

    Remplacement de la valeur de h (2) dans (1) :
    $ y^2 -7y + (\frac {5} {2})^2 = 0$

    Résolution de l’équation du 2e degré avec la formule du discriminant :
    $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
    $ y =\frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2-4(\frac{5} {2}) ^2}}{2}$
    ...
    $ y =\frac {7}{2} \pm \sqrt{6}$
    $ x = \frac {7}{2} -y $
    $ x = \pm \sqrt{6}$

    Comme x >0 :
    $ x =\sqrt{6} $
    (Soit environ 2,45m )

  • Bonjour M. Tux,

    J’ai trouvé que la distance entre les deux spots devait être égale à la racine carrée de 6.
    Bien à vous.
    Le pingouin masqué

  • Appelons ABCD le rectangle, et E le sommet de l’angle droit du triangle rectangle d’hypoténuse [AB].
    On pose $x=CE$.
    Le triangle rectangle isocèle a pour hauteur $\frac{5}{2}$.
    Le triangle BCE est rectangle en C.
    D’après le théorème de Pythagore, $BE^2=BC^2+CE^2$
    De même, dans ADE, $AE^2=DA^2+DE^2$

    Dans le triangle ABE, $AB^2=AE^2+BE^2$

    On a finalement : $DA^2+DE^2+BC^2+CE^2=AB^2$

    Cela nous amène à l’équation : $4x^2-28x+25=0$
    On cherche une solution comprise entre 0 et $\frac{7}{2}$.
    On trouve $x=\frac{7}{2}-\sqrt{6}$.

    L’écart entre les deux lampes vaut $\frac{7}{2}-x=\sqrt{6}$.