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Énigme de la semaine 18

par MOTTIER Pierre

Paul Cézanne (1839-1906), Bords de Marne à Saint-Maur-des-Fossés

L’île fleurie.

(Extrait du Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques)

L’île fleurie est ainsi nommée car, à la belle saison, ses nombreux arbres fruitiers sont en fleurs, et que cela est joli à voir. Ces arbres sont disposés de telle sorte qu’il y ait en moyenne un arbre pour 18 m2 de terrain. L’île a la forme d’un rectangle deux fois plus long que large et, lorsqu’on en fait le tour en bateau en restant toujours soigneusement à 700 m du rivage pour mieux la contempler, on parcourt 6 398 m (le capitaine nous avait donné la distance en nœuds marins, mais nous avons converti !).
Au fait, pouvez-vous nous dire combien il y a d’arbres fruitiers sur cette île ? On prendra $\frac{22}{7}$ pour π.

Paul Cézanne (1839-1906), Bords de Marne à Saint-Maur-des-Fossés

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Il y a environ 12321 arbres sur l’île.

    PS :
    L’interpréteur de syntaxe latex fonctionne de nouveau :)

    Notations :

    S : surface de l’île
    a : largeur de l’île
    2a : longueur de l’île
    N : nombre d’arbres sur l’île

    Calcul de la surface :

    $ S = a (2a) $
    $ S = 2 a^{2} $

    Calcul de la largeur de l’île :
    Le bateau se situe toujours à 700 m du rivage de l’île, il parcourt 6398m (le périmètre de l’île auquel on ajoute un cercle de rayon 700m) :

    $ L = 2(2a) + 2a + 2 \pi 700 = 6398 $
    $ a = \frac {6398 - 2 \pi 700} {6} $
    $ a \approx 333 $

    Calcul du nombre d’arbres :

    $ N = \frac {S} {18}$
    $ N = \frac {2 a^{2}} {18}$
    $ N \approx 12321 $

  • Pour l’énigme 17, je suis bien en retard :( !
    Mais aujourd’hui il fait vraiment un temps à rester au chaud à déchiffrer des énigmes... (-16°C avec vent du Nord :o))

    L’année faste correspond à 1352

    Traduction de l’énigme :
    L’année s’écrit : abcd
    a=1 ou 2 (car c’est une année historique <2016)
    c>=1
    a, b, c,d entiers

    « Le double produit de ces deux nombres à deux chiffres est égal au millésime lui-même », se traduit par l’égalité (1) :
    2 (10a+b) (10c+d) = 1000a + 100b + 10c +d

    Hypothèse 1 : a=1, b=0
    (1) :
    $ 20 (10c+d) = 1000 + (10c+d) $
    $ 10c+d = \frac 1000 19 $
    Impossible : 1000 non divisible par 19 (a, b, c,d sont des entiers)

    Hypothèse 2 : a=1, b=1
    (1) :
    $ 22 (10c+d) = 1100 + (10c+d) $
    $ 10c+d = \frac 1100 21 $
    Impossible : 1100 non divisible par 21

    Hypothèse 2 : a=1, b=2
    (1) :
    $ 24 (10c+d) = 1200 + (10c+d) $
    $ 10c+d = \frac 1200 23 $
    Impossible : 1200 non divisible par 23

    Hypothèse 2 : a=1, b=3
    (1) :
    $ 26 (10c+d) = 1300 + (10c+d) $
    $ 10c+d = \frac 1300 25 $
    $ 10c+d = 52 = 50 + 2 $
    c=5
    d=2

    Année= 1352