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Énigme de la semaine 17

par MOTTIER Pierre

Passer au vert.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

M. Laverdure a décidé de ne plus brûler ou jeter ses déchets de jardin, mais de les composter.
À cet effet, il dispose d’un treillis rectangulaire d’une aire de 2,70 m2.
Quelques attaches lui suffisent pour joindre deux côtés opposés et obtenir un réservoir cylindrique vertical dont la hauteur correspond à la longueur de son rectangle.
Sa voisine lui fait remarquer que, s’il avait choisi de réunir les deux autres côtés de son treillis, son cylindre serait moins haut, mais d’une plus grande contenance.
M. Laverdure, tout d’abord incrédule, prend les mesures nécessaires et effectue quelques calculs. Puis il défait sa première construction et constate avec satisfaction que son nouveau cylindre a un volume supérieur de 20 % à l’ancien.

Quel est ce nouveau volume ?

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Le volume quand on rejoint le plus petit côté du grillage est d’environ 386,7 l

    NB :
    Le latex ne semble plus fonctionner :(.

    Notations :
    $ V_1$ : volume du cylindre si on rejoint le petit côté
    $ R_1$ : rayon du cercle délimitant le cylindre obtenu en rejoignant le petit côté
    $ S_1$ : surface du cercle délimitant le cylindre obtenu en rejoignant le petit côté
    $ V_2$ : volume du cylindre si on rejoint le grand côté
    $ R_2$ : rayon du cercle délimitant le cylindre obtenu en rejoignant le grand côté
    $ S_2$ : surface du cercle délimitant le cylindre obtenu en rejoignant le grand côté

    L : grand côté du treillis
    l : petit côté du treillis
    S : surface du treillis

    Calcul de $ V_1$ (1) :
    Le contour du cercle délimitant le cylindre :
    $l= 2 \pi R_1 $
    $ R_1= \frac {l} {2 \pi} $
    Volume du cylindre :
    $ V_1= L S_1 $
    $ V_1= \pi {R_1}^{2} L $
    $ V_1= L \pi \frac {{l}^2} {4 {\pi}^2} $
    $ V_1= L \frac {{l}^{2}} {4 \pi}$

    Calcul de $ V_2$ (2) : (l et L sont intervertis)
    $ V_2= l \frac {{L}^{2}} {4 \pi}$

    Rapport des volumes :
    $ \frac {V_2} {V_1} = \frac {l \frac {{L}^{2}} {4 \pi}} {L \frac {{l}^{2}} {4 \pi}}$
    $ \frac {V_2} {V_1} = \frac {L}{l}$
    Or on sait que $V_2 = 1,2 V_1$
    Donc :
    $\frac {L} {l}=1,2$

    Dimensions du treillis :
    La surface du treillis vaut $ 2,7 m^2$ :
    $ S=l L =2,7$
    $l= \sqrt {\frac {2,7}{1,2}} = 1,5 $
    $L=1,2 l = 1,8 $

    Calcul littéral de $ V_2$ :
    $ V_2= 1,5 \frac {{1,8}^{2}} {4 \pi} $
    $ V_2\approx 0,386746 m^3 $
    $ V_2\approx 386,75 l $

  • Bonjour NDW,

    Les expressions mathématiques écrites en LaTEX sont toujours bien reconnues, pas de problème ! Mais elles ne sont bien compilées qu’au moment de la publication de la réponse sur le site. C’est un peu troublant pour toi quand tu prévisualises ta réponse avant de l’envoyer, mais pas de soucis, en général, je n’ai aucune retouche à faire !

    Si tu veux, si tu as le temps, tu peux encore répondre à l’énigme n° 16 de la semaine dernière, jusqu’à mardi prochain : je m’étais embrouillé dans les dates de publication des énigmes les deux semaines précédentes et l’énigme n° 16 n’a peut-être pas été correctement visible aux dates prévues...

    À bientôt !

    Signé : Sherlock Tux

    • Bonjour Sherlock,

      Dans ce cas pas de problème :) ! Je pensais qu’il fallait ensuite tout reconvertir manuellement (donc du travail supplémentaire), c’est en ce sens que cela me perturbait.

      J’avoue mon ignorance sur le problème de probabilité d’attente des bus :( !