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Énigme de la semaine 25

par MOTTIER Pierre

Les sourcils du clown.

(Extrait du Rallye mathématique d’Aquitaine)

Quelle est l’aire de la surface que doit maquiller notre clown pour obtenir ces « beaux sourcils » ? Les sourcils sont délimités par des demi-cercles symétriques. (AB) est tangente au petit demi-cercle et est parallèle au diamètre dessiné. [AB] mesure 4 cm.

Solution


Soit R le rayon du grand demi-cercle (qui est égal à AO) et r celui du petit (qui est égal à OH). D’après le théorème de Pythagore dans le triangle AHO rectangle en H :
$AO^2= AH^2 + HO^2$
D’où $R^2 = 2^2 + r^2$ d’où $R^2 - r^2 = 4$
Donc l’aire de la surface à maquiller est :$ \pi R^2 - \pi r^2= \pi (R^2- r^2) = 4\pi $ cm2