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Énigme de la semaine 15

par MOTTIER Pierre

Sylvain et Sylvette.

(Extrait du Rallye mathématiques de l’académie de Lyon)

Sylvain et Sylvette ont chacun plusieurs pièces de 1 centime. Sylvain s’est amusé à les disposer en carré tandis que Sylvette a préféré construire un triangle comme sur le modèle ci-dessous :

Au début, ils avaient tous les deux le même nombre de pièces, et à la fin de leur construction, il ne reste aucune pièce ni à l’un, ni à l’autre.
Combien avaient-ils de pièces chacun, sachant que ce nombre de pièces est le plus petit nombre qui permette cette double construction ?

Solution

Comme je l’indiquais à Vincent, pour expliciter le sujet,
En formant un carré de côté 3, Sylvain aurait utilisé 9 pièces $\left( 3^2 \right)$.
En formant un carré de côté 4, Sylvain aurait utilisé 16 pièces $\left( 4^2 \right)$.
En formant un carré de côté 5, Sylvain aurait utilisé 25 pièces $\left( 5^2 \right)$...
En formant un triangle de côté 3, Sylvette aurait utilisé 6 pièces $\left(1+2+3=\frac{3\times4}{2} \right)$.
En formant un triangle de côté 4, Sylvette aurait utilisé 10 pièces $\left(1+2+3+4=\frac{4\times5}{2} \right)$.
En formant un triangle de côté 5, Sylvette aurait utilisé 15 pièces $\left(1+2+3+4+5=\frac{5\times6}{2} \right)$...

En continuant ce processus, on finit par trouver que 36 pièces permettent de construire un carré de côté 6, ainsi qu’un triangle équilatéral de côté 8.

Messages

  • Sylvain en a 8 et Sylvette 7, Sylvette en a donné 1 à Sylvain pour faire sa construction.

    • Bonjour Vincent !
      Soit le bienvenu parmi nous, le club des énigmatiques joueurs invétérés !
      Pour bien répondre à la question, il faut la comprendre comme ceci : « Sylvain s’est amusé à les disposer en carré tandis que Sylvette a préféré construire un triangle comme sur le modèle ci-dessous » signifie que Sylvain a placé ses pièces pour former un carré alors que Sylvette les a placé pour former un triangle équilatéral. Mais on ne connaît pas a priori combien l’un et l’autre ont placé de pièces, les dessins faits dans l’énoncé n’étant que des modèles : En fait, Sylvain n’a pas placé 9 pièces et Sylvette n’en a pas placé 6 ! Ils en ont placé autant l’un que l’autre, et aucun des deux n’en a donné à l’autre...
      En formant un carré de côté 3, Sylvain aurait utilisé 9 pièces.
      En formant un carré de côté 4, Sylvain aurait utilisé 16 pièces.
      En formant un carré de côté 5, Sylvain aurait utilisé 25 pièces...
      En formant un triangle de côté 3, Sylvette aurait utilisé 6 pièces.
      En formant un triangle de côté 4, Sylvette aurait utilisé 10 pièces.
      En formant un triangle de côté 5, Sylvette aurait utilisé 15 pièces...
      La question posée dans cette énigme peut être reformulée ainsi : « Quels sont les côtés respectifs du carré et du triangle pour que leur construction nécessite le même nombre de pièces ? »
      Tu vois ? C’est plus clair comme ça ?
      Essaie de poursuivre la recherche commencée ici et de m’envoyer une nouvelle réponse, si tu veux.

      Signé : Sherlock Tux