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Énigme de la semaine 14

par MOTTIER Pierre

Corvette en tête.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Quelque part en mer une flottille navigue à cap constant à la vitesse de 12 nœuds, c’est à dire 12 milles par heure. Une corvette part en avant pour reconnaître le secteur ; sa vitesse passe alors à 24 nœuds.
Après avoir parcouru 60 milles, la corvette fait demi-tour pour rejoindre le reste de la flottille.
Quel temps, en heures et en minutes, s’est-il écoulé entre le départ et le retour de la corvette, en supposant les vitesses constantes entre ces deux instants ?

Messages

  • Entre le départ et le retour de la corvette, il s’est écoulé 3h20. Navigation pendant 2,5 heures en marche avant et 50 minutes au retour.
     

  • Bonjour Sherlock,

    Le temps total entre le départ et le retour de la corvette est de 3h20.

    Bonnes vacances et bonnes fêtes à tous !

    Notations :
    $ t_1$ : durée entre le départ et le début du retour de la corvette (1re période)
    $ t_2$ : durée entre le début du retour de la corvette et le moment où la flotille et la corvette se rejoignent (2e période)
    $ t$ : durée totale

    $ v_{1_c}$ : vitesse de la corvette lors de la 1re période (=24 miles/h)
    $ d_{1_c}$ : distance effectuée par la corvette lors de la 1re période (=60 miles)
    $ v_{1_f}$ : vitesse de la flotille lors de la 1re période (=12 miles/h)
    $ d_{1_f}$ : distance effectuée par la flotille lors de la 1re période
    ...
    $ d_{2_r}$ : distance restante à l’issue de la première période

    Première période :
    $ v_{1_c}=\frac {d_{1_c}} {t_1} $
    $ v_{1_f}=\frac {d_{1_f}} {t_1} $

    La vitesse de la flotille vaut la moitié de celle de la corvette :
    $\frac {v_{1_c}} {2}=\frac {d_{1_f}} {t_1} $
    Donc :
    $d_{1_f} = \frac {d_{1_c}} {2} $

    Deuxième période :
    La distance restante à parcourir :
    $d_{2_r} = d_{1_c} - d_{1_f} = d_{1_c} - 2 d_{1_c} = \frac {d_{1_c}} {2} $
    Lors de la 2e période la flotille et la corvette ont gardé leur vitesse respective :
    $ v_{2_c}= v_{1_c}=\frac {d_{2_c}} {t_2} $ (4)
    $ v_{2_f}= v_{1_f}=\frac {v_{1_c}} {2} =\frac {d_{2_f}} {t_2} $

    On peut aussi écrire la distance à parcourir en fonction des distances effectuées lors de la 2e période :
    $d2_r = d_{2_c} + d_{2_f} $
    $d2_r = v_{2_c} t_2 + v_{2_f} t_2$
    $ \frac {d_{1_c}} {2} = v_{1_c} t_2 + \frac {1} {2} v_{1_c} t_2 = \frac {3}{2} v_{1_c} t_2$
    $t_2=\frac {1} {3} \frac {d_{1_c}} {v_{1_c}}$

    $t_1= \frac {d_{1_c}} {v_{1_c}}$

    Durée totale :
    $ t= t_1 + t_2=\frac {d_{1_c}} {v_{1_c}}+\frac {1} {3} \frac {d_{1_c}} {v_{1_c}}= \frac {4} {3} \frac {d_{1_c}} {v_{1_c}}$
    $ t = \frac {4} {3} \frac {60} {24}$
    $ t = \frac {10} {3}$
    t= 3h20minutes