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Erreurs, incertitudes et notions associées

3 exercices pour s’entrainer - AP

par CLAUDEL Gilles

Rappels sur les évaluations des incertitudes

Les expressions ci-dessous seront toujours fournies.

Compétences exigibles

Erreurs et notions associées

  • Identifier les différentes sources d’erreur (de limites à la précision) lors d’une mesure : variabilités du phénomène et de l’acte de mesure (facteurs liés à l’opérateur, aux instruments, etc.).

Incertitudes et notions associées

  • Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source d’erreur.
  • Évaluer l’incertitude de répétabilité à l’aide d’une formule d’évaluation fournie.
  • Évaluer l’incertitude d’une mesure unique obtenue à l’aide d’un instrument de mesure.
  • Évaluer, à l’aide d’une formule fournie, l’incertitude d’une mesure obtenue lors de la réalisation d’un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d’erreurs.
Évaluation des incertitudes sur une série de mesures (type A)

On dispose de n mesures indépendantes d’une grandeur x constituant un échantillon de taille n.

  • Quelle est la meilleure estimation de la grandeur inconnue ?
  • Quelle confiance peut-on accorder au résultat donné ?

Dispersion des mesures et incertitudes-type

  1. la moyenne $\overline{x}$ est le meilleur estimateur de l’échantillon. $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}$
  2. la meilleure estimation de la dispersion est mesurée par l’écart-type expérimental défini : $\sigma_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(x_i-\overline{x} \right)^2 }}{n-1}}$
  3. l’incertitude-type est donnée par : $s=\frac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}$

Incertitude-type élargie et intervalle de confiance

L’incertitude-type élargie ou incertitude de répétabilité dépend du taux de confiance choisi et du facteur d’élargissement k associé.

$U(x)=k.s$

k dépend de n et suit la loi de student. Pour un niveau de confiance de 95% et dans la majorité des cas, on peut prendre k = 2.

Expression du résultat

$x = \overline{x} \pm U(x)$

Évaluation des incertitudes sur une mesure unique (type B)

L’incertitude dépend de l’instrument de mesure.

Appareil avec graduations

C’est le cas de la règle graduée, du thermomètre à alcool, du banc d’optique, de la pipette graduée, etc.

$U_{lecture}=\frac{2~;graduation}{\sqrt{12}}$

En cas d’une double lecture, on multiplie l’incertitude-type par $\sqrt{2}$.

Appareil avec indication du fabricant

C’est le cas du multimètre, de la burette graduée, etc.

$U_{tolerance}=\frac{2\times ecart~;fabricant}{\sqrt{3}}$

Évaluation des incertitudes sur une mesure avec plusieurs sources d’erreurs

Quand les sources d’erreurs sont indépendantes, le calcul de l’incertitude-type dépend de la relation entre les grandeurs :

  1. $y=x_1+x_2$ , alors : $U(y) = \sqrt{U(x_1)^2 + U(x_2)^2}$
    On utilise cette formule dans le cas où une grandeur a plusieurs sources d’erreurs indépendantes. Exemple de la mesure de la largeur de la tache centrale d’une figure de diffraction : erreur sur la double lecture + erreur sur l’estimation de la position du minimum d’extinction.
  2. $y=\frac{x_1}{x_2}$ , alors : $\frac{U(y)}{y} = \sqrt{\left [ \frac{U(x_1)}{x_1} \right ] ^2 + \left [ \frac{U(x_2)}{x_2} \right ] ^2}$

 

Utilisation d’une burette

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Quelle est l’incertitude sur la lecture d’un volume versé à l’aide d’une burette graduée, sachant qu’elle a une tolérance de $\pm 0.05~;mL$ ?

Incertitude sur la mesure d’une célérité

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La distance MM’ = 80 cm est évaluée avec une incertitude-type de 0.5 cm.
Un chronomètre mesure le retard de la perturbation entre ces deux points :
$\tau = (0.20 \pm 0.01) s$

Quelle est l’incertitude sur la mesure de la vitesse de propagation v de l’onde ?

Titrage colorimétrique

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On cherche à mesurer la concentration CA d’une solution aqueuse de dioxyde de soufre en prélevant VA = 10.0 mL de cette solution à l’aide d’une pipette jaugée dont la tolérance est 0.03 mL.
Le volume versé à l’équivalence est VB,e = 9.7 mL. La burette utilisée est identique à celle du premier exercice.

Le résultat de ce titrage est donné par :

$C_A=\frac{5}{2}~;\frac{C_B~;V_{B, e}}{V_A}$

Quelle est l’incertitude sur la mesure de la concentration de la solution titrée ?

Afficher le résultat de la mesure.

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