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Énigme de la semaine 8

par MOTTIER Pierre

Que de cartes !

(Extrait du Rallye mathématique d’Aquitaine)

Les frères Logico sont passionnés par les cartes de jeux de rôles. Vincent collectionne les elfes, Bruno les sorciers et Jérôme les gnomes.
Chacun a moins de 2 000 cartes, mais à eux trois, ils en possèdent déjà entre 2 000 et 4 000 !
Avant de faire des échanges, ils décident de les ranger.
Vincent propose de faire des paquets de cinq. Il leur reste alors trois cartes à chacun.
Bruno suggère de les ranger par sept. Il leur reste encore trois cartes à chacun.
Et quand Jérôme décide de faire des tas de neuf cartes, il leur en reste toujours trois à chacun.
 
Intrigués par cet étrange phénomène, ils se demandent combien ils ont de cartes à eux trois.
 
Indiquer toutes les valeurs possibles de ce nombre mystérieux.

Solution

Il est possible de trouver la solution sans utiliser la condition “les enfants possèdent moins de 2 000 cartes chacun” .
Que l’on range les cartes par paquets de 5, 7 ou 9, il en reste toujours 3 à chacun des frères Logico donc si on enlève ces 9 cartes au nombre total de cartes, le nombre de cartes restantes est un multiple commun de 5, 7 et 9, c’est-à-dire un multiple de 315.
Au tableur ou à la main, on pouvait compléter le tableau suivant :

Multiples de 315
Nombre total de cartes
Entre 2 000 et 4 000 ?
0
9
Non
315
324
Non
630
639
Non
...
...
Non
1 890
1 899
Non
2 205
2 214
Oui
2 520
2 529
Oui
2 835
2 844
Oui
3 150
3 159
Oui
3 465
3 474
Oui
3 780
3 789
Oui
4 095
4 104
Non

Les solutions sont donc 2 214 ; 2 529 ; 2 844 ; 3 159 ; 3 474 et 3 789.

On aurait aussi pu trouver ces solutions en utilisant la division euclidienne et quelques règles de calcul sur les inégalités :
Le nombre total de cartes a pour forme 315 k+9.
On cherche les entiers naturels k tels que :
2{ }000 \leqslant 315 k+9 \leqslant 4{ }000
1{ }991 \leqslant 315 k \leqslant 3{ }991
\frac{1{ }991}{315} \leqslant k \leqslant \frac{3{ }991}{315}
Or, \frac{1{ }991}{315} \approx 6{,}3 et \frac{3{ }991}{315} \approx 12{,}7
Donc, k \in \{7 ;8 ;9 ;10 ;11 ;12\}
Et on retrouve les six solutions précédentes.