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Énigme de la semaine 7

par MOTTIER Pierre

La piscine.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)
Daniel et Antoine sont assis en deux points diamétralement opposés d’une piscine circulaire dont l’eau est profonde de 1,80 m.
Lorsque Myriam prend place au bord du même bassin, tous deux nagent tout droit vers elle.
Après un parcours de 10 m, Antoine a déjà atteint Myriam, alors que Daniel devra nager 14 m de plus pour la rejoindre.

Combien de litres d’eau y a t-il dans ce bassin ?

Messages

  • La piscine est de forme cylindrique : la hauteur vaut 1,80m et la surface circulaire a pour diamètre x.
    D’après l’énoncé, on peut tracer les parcours de Daniel et d’Antoine vers Myriam, puis on lie les positions initiales d’Antoine et de Daniel. Cela formera un triangle dont les trois sommets sont sur le cercle, et l’un des côtés est le diamètre de ce cercle. Ce triangle est donc rectangle.
    On connaît la distance entre Daniel et Myriam qui est 10 m, et celle entre Antoine et Myriam qui vaut $10+14=24$m.
    On cherche maintenant le diamètre x du cercle (distance entre Daniel et Antoine) en utilisant le théorème de Pythagore. $x=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26$ (m)
    Pour calculer le volume de la piscine (un cylindre), on a la formule suivante : $r^2\times\pi\times h$ (r est le rayon du base, h est la hauteur/profondeur de la piscine). On applique donc cette formule dans la recherche du volume d’’eau contenue dans le bassin : $\left(\frac{26}{2}\right)^2\times\pi\times1,80\approx956$ ($\mbox{m}^3$).

    CONCLUSION : Le bassin contient $956~;\mbox{m}^3$ d’eau.

  • Ah ! Je me réjouis de la venue d’un nouveau participant en ce début de mois de novembre (alors que je craignais que la fraîcheur du temps n’incite pas les foules à se pencher sur un problème de piscine...) ! Bienvenue, Huy, parmi nous ! Je ne peux pas dès maintenant publié ta réponse. Elle est trop proche de la solution à ce problème. Une petite précision dans le sujet cependant n’a pas été respectée... On demande combien de litres d’eau il y a dans la piscine. Il faudra que la réponse soit donnée au litre près pour que Tux pose sa coupe de champagne et revête sa panoplie de Super Tux...
    Comme c’est ta première participation et que tu as répondu très tôt à l’énigme, je te propose d’apporter cette petite précision supplémentaire à ta réponse avant mardi prochain, si tu veux (il n’est absolument pas nécessaire de reprendre le raisonnement depuis le début puisqu’il est parfaitement correct. Juste préciser la réponse en la donnant au litre près).

    Signé : Sherlock Tux

  • Bonjour,

    Le volume de la piscine est d’environ 955 672 litres.

    $V=1\:000\pi\times\frac{MD^2+AM^2}{4} \times1,8~;\textrm{ dm}^3\textrm{ (ou litres)}$

    La figure et les détails sont décrits dans le fichier joint.

  • Le triangle MAD est inscrit dans un cercle de diamètre un des côtés, donc ce triangle est rectangle. On peut écrire :

    $AD^2=MA^2+MD^2$
    avec $MA=10~;m$ et $MD=10+14=24~;m$

    Le volume de la piscine, exprimé en m3, est :

    $V=\frac{\pi}{4}\times AD^2 \times h$
    Application numérique :
    $V = \frac{\pi}{4}\times \left( 10^2+24^2\right) \times 1.80$
    $V=9.6\times10^2~;m^3$ [1]
    $V=9.6\times10^5~;L$

    [12 chiffres significatifs pour le résultat de ce problème compte tenu du fait que les distances parcourues sont données à 2 chiffres significatifs et la profondeur du bassin à 3.

  • On sait que la piscine a la forme d’un cylindre (la surface de la piscine est un disque).
    Un diamètre de la surface de la piscine (disque) est formé par les positions initiales de Daniel (qu’on prendra comme le point D du cercle, contour du disque) et Antoine (le point A du cercle) : $d=DA$
    On sait que la distance DM entre Daniel et Myriam vaut 10m et que la distance AM entre Antoine et Myriam vaut 14m
    Comme la surface de la piscine est un disque et que Myriam est sur le bord de la piscine, AMD forme donc un triangle rectangle dont l’hypoténuse correspond au diamètre (la distance DA) .

    $DA^2 = DM^2+AM^2$
    $DA = 17,20~;\textrm{m}$

    $\begin{tabular}{ r c l } \(\textrm{Volume d’un cylindre}}\) &\(=\)& \(\textrm{Aire base} \times \textrm{hauteur}\)\\ &\(=&\) \(\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2\times1,80\)\\ & \(\approx\)&\(418,23~;\textrm{m}^3\)\\ & \(\approx\)&\(18,23\times10^3~;\textrm{L}\) \end{tabular}$

    Donc il y a $418,23\times10^3$ litres d’eau dans ce bassin.