Accueil > Vie Scolaire > Jeux mathématiques et logiques > Une énigme par semaine > Catégorie Lycée / Grand Public > Énigme de la semaine 7

Énigme de la semaine 7

par MOTTIER Pierre

Parcours santé.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)
 
 
 
Georges court deux fois plus vite qu’il ne marche.

Un jour, en s’entraînant, il marche deux fois plus longtemps qu’il ne court et il met 45 minutes.

Le lendemain, pour faire le même parcours, il court deux fois plus longtemps qu’il ne marche.

Calculer la durée de son entraînement ce jour-là.

Messages

  • Georges a couru 36 minutes ce jour-là, 23 minutes de course et 12 minutes de marche.
     
     

  • Bonjour Maître Tux,

    Au regard du contexte et notamment des deux premières phrases, il réalise le parcours en 30 minutes de course (sans jamais marcher donc, on peut aussi utiliser qu’il réalise le parcours en 60 minutes sans jamais courir).
    Puisqu’il court deux fois plus vite qu’il ne marche, si j’enlève x minutes de son temps de course, elles doivent être compensées par 2x minutes de temps de marche afin de compléter le parcours.
    Afin d’éventuellement répondre à cette situation, je cherche à résoudre l’équation $30-x=2 \times (2x)$. On trouve une seule solution égale à 6. Georges a couru 24 minutes et marché 12 minutes le deuxième jour soit un parcours réalisé en 36 minutes.
    Cordialement.
    Lpm

  • Bonjour Sherlock,

    Le 2e jour l’entraînement va durer 36 minutes au total.

    Notations :
    $ v_m$ : vitesse de marche (la même pour les 2 jours)
    $ v_c$ : vitesse de course (la même pour les 2 jours)

    $ d$ : distance à parcourir (la même pour les 2 jours)
    $ d_{i_c}$ : distance parcourue en courant le jour i
    $ d_{i_m}$ : distance parcourue en marchant le jour i

    $ t_i$ : temps total jour i
    $ t_{i_c}$ : temps de course jour i
    $ t_{i_m}$ : temps de marche jour i

    Georges court deux fois plus vite qu’il ne marche : (1)
    $ v_c = 2 v_m$

    1er jour : il met 45 minutes et il marche deux fois plus longtemps qu’il ne court : (2)
    $ t_1 = 45 $
    $ t_{1_m} = 2 t_{1c}$ ou $ t_{1_c} = \frac {1} {2} t_{1_m} $

    Le temps total correspond à la somme du temps de marche et de course :
    $ t_1 = t_{1_m} + t_{1_c} $
    $ 45 = (2 t_{1_c}) + t_{1_c} $
    $ t_{1_c} = \frac {45} {3} $
    $ \color{Red}{t_{1_m} = 2 (\frac {45} {3})} $

    La distance d’entraînement correspond à la somme des distances de marche et de course :
    $ d = d_{1_m} + d_{1_c} = t_{1_m} v_m + t_{1_c} v_c = t_{1_m} v_m + (\frac {1} {2} t_{1_m}) (2 v_m)$
    $ d = 2 t_{1_m} v_m$
    $ d = 2 (2 \frac {45} {3}) v_m $
    $\color{Red} {d = \frac {4} {3} {45} v_m }$

    2e jour : il court deux fois plus longtemps qu’il ne marche pour parcourir la même distance : (3)
    $\color{Red}{ t_{2_c} = 2 t_{2_m}} $
    $ t_2 = t_{2_c} + t_{2_m}$
    $ t_2 = (2 t_{2_m}) +t_{2_m} $
    $\color{Red}{ t_2 = 3 t_{2_m}}$

    $ d = d_{2_m} + d_{2_c}$
    $ d = v_m t_{2_m} + v_c t_{2_c}$
    $ d = v_m t_{2_m} + (2 v_m) (2 t_{2_m})$

    En remplaçant d par l’égalité trouvée en (2) :
    $ \frac {4} {3} {45} v_m = v_m t_{2_m} + (2 v_m) (2 t_{2_m})$
    $ 5 t_{2_m} = \frac {4} {3} {45} $
    $ t_{2_m} = 12 $

    $ t_2 = 3 t_{2_m} $
    $\color{Red} {t_2 = 36} $