Accueil > Vie Scolaire > Jeux mathématiques et logiques > Une énigme par semaine > Catégorie 4e / 3e > Énigme de la semaine 6

Énigme de la semaine 6

par MOTTIER Pierre

Troiturion de trop.

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Le centurion ordonne à ses légionnaires : « Rangez-vous par 4 ! ». Les soldats s’exécutent, mais le dernier rang est incomplet : il ne compte que 3 soldats. « Mettez-vous par 5 ! », hurle alors le centurion ; mais au dernier rang, incomplet, on compte de nouveau 3 soldats. « Eh bien, rangez-vous par 7 ! ». Encore une fois, le dernier rang reste incomplet : on y compte toujours 3 soldats. Combien y a-t-il de légionnaires dans la cohorte du centurion sachant qu’ils sont moins de 200 ?
Proposer au centurion une disposition de ses hommes en un rectangle où chacun trouvera sa place.

Solution

Appelons $n$ le nombre de légionnaires de cette centurie.
$n-3$ est, d’après l’énoncé, un multiple de $3$, $5$ et $7$.
$4 \times 5 \times 7 = 140$
$n-3$ est donc multiple de $140$.
Et $140$ est le seul multiple de $140$ inférieur à $200$...
Donc $n-3=140$
$n=143$
Et $143=13 \times 11$

Le centurion peut donc ordonner à ses légionnaires de former des rangs de 11 ou 13.

Messages