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Énigme de la semaine 5

par MOTTIER Pierre

C’est pas de la tarte !

(Extrait du forum des énigmes mathématiques du site « l’île des mathématiques »)

On considère la part de tarte de Jamo comme un secteur angulaire (OAB) comme le montre la figure ci-dessous. Le point O est le centre de la tarte, donc les longueurs OA et OB sont égales au rayon de la tarte qui est de 16 cm.

Jamo aime découper une « bande » dans sa part de tarte, je ne sais pas pourquoi.

Et donc, il a découpé une bande à l’aide d’un coup de couteau parallèlement au côté [OB] de la tarte.
Cette bande a une largeur de 3 cm.
On obtient alors une sorte de nouveau secteur angulaire (MAC), et en mesurant ses côtés, on trouve une différence de 2 cm (la différence entre les longueurs MA et MC ... ou entre MC et MA, je vous laisse y réfléchir).

Quel est l’angle de la part de tarte initiale ? Donnez la réponse en degrés avec une précision au centième de degrés.

Messages

  • $OB-MC=2$ (OB-MA ne peut être égal à 2, car OM>3)

    $\tan a=\frac{3}{2}$
    $a=\arctan \left( \frac{3}{2} \right) = 56,3099$
    L’angle de la tarte initiale est de 56,31 degrés.

  • Bonjour Sherlock Tux,

    Mes hypothèses :
    Je pense que α est un angle aigu (personne n’oserait prendre une part de tarte plus grosse que le quart de la dite tarte !), donc $MC>MA$

    Tracé et point supplémentaire (voir fichier Geogebra) :
    Je trace la perpendiculaire à (MC) passant par O.
    Soit E le point d’intersection de ces deux droites.

    Stratégie :
    J’exprime OM sachant que [OM] est l’hypothénuse du triangle rectangle (OME)
    J’exprime MC en utilisant les deux triangles (OME) et (OCE).
    J’établis la différence MC-MA.
    Je cherche la valeur de l’angle \alpha pour que cette différence soit égale à 2.

    Je pose :
    $r=16$
    $b=3$

    D’une part :

    $\sin \alpha=\frac{b}{OM},~;donc~;OM=\frac{b}{\sin \alpha}$

    D’autre part :

    $CE^2=r^2-b^2$
    $ME=\frac{b}{\tan \alpha}$
    $MC=CE-ME=\sqrt{r^2-b^2}-\frac{b}{\tan \alpha}$

    Enfin :

    $MA=OA-AM=r-\frac{b}{\sin \alpha}$

    Donc :

    $MC-MA=\sqrt{r^2-b^2}-\frac{b}{\tan \alpha}-r+\frac{b}{\sin \alpha}$
    $MC-MA=b\left(\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)-\left( r- \sqrt{r^2-b^2} \right)$

    On résout [1] :

    $b \tan \frac{\alpha}{2}-\left( r- \sqrt{r^2-b^2} \right)=2$
    $\alpha=2 \arctan \left( \frac{2\sqrt{r^2-b^2}}{b} \right)$
    $\alpha=2 \arctan \left( \frac{2\sqrt{16^2-3^2}}{3} \right)$
    $\alpha= 74,56^\circ$

    L’angle de la part de tarte initiale est donc $\alpha= 74,56^\circ$

    [1On sait que : $\tan \frac\alpha2=\frac1-\cos \alpha\sin \alpha$