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Énigme de la semaine 5

par MOTTIER Pierre

Octomanie.

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Xiu souhaite personnaliser le code d’accès à 4 chiffres de son blog. Elle aime bien le chiffre 8 qui est synonyme de chance, de prospérité et d’infini dans la culture chinoise. Xiu se dit que le code « 8888 » est bien trop facile à tester. Quant à $8^{88}$ cela fait trop de chiffres ! Xiu fabrique son code ainsi :

  • le chiffre des unités du code est le chiffre des unités de $8^{88}$ ;
  • le chiffre des milliers du code est le premier chiffre de $8^{88}$ ;
  • entre les deux, elle inscrit le nombre total de chiffres que comporte l’écriture décimale de $8^{88}$.

Trouver le code du blog de Xiu.

Messages

  • Bonjour Sherlock,
    Le code est 8038.

    Avec :
    8 unité de 888
    8 premier chiffre de 888
    03 nombre de chiffres dans 888

    • Oui ! Bien sûr !
      Mais, cher NDW, tu as dû te demander d’où sortait cette énigme et quel en était l’intérêt réel ?
      La partie « Xiu se dit que le code « 8888 » est bien trop facile à tester. Quant à 888 cela fait trop de chiffres ! », surtout, a dû te paraître étrange, 888 ne comportant pas tant de chiffres que cela, et plutôt moins que 8888.
      En fait, ce n’est pas 888 qui devait apparaître ici, mais $8^{88}$ :-/...
      Je ferai plus attention la prochaine fois !
      Si tu veux te pencher sur cette version corrigée (et un peu plus intéressante, je crois) de l’énigme n° 5, je la laisse ouverte encore une semaine.

      Signé : Sherlock Tux

      P.S. : Pendant les vacances (fin octobre), je vais essayer de mettre à jour les solutions des énigmes de ce début de saison, pour les trois catégories.

    • Bonjour Sherlock,

      Effectivement j’avais noté une incohérence dans l’énoncé (à savoir 888>8888), mais malheureusement omis de le signaler :( !

      Calcul du nouveau code :
      $ 2^{88} \approx 2,9 \times 10^{79} $
      Le 1er chiffre du code est 2

      Le milieu du code correspond au nombre de chiffres nécessaires pour écrire $ 2^{88} $
      $ 2^{88} \approx 2,9 \times 10^{79} $
      Il faut donc 80 chiffres : 1+79

      On remarque qu’il y a une périodicité sur le dernier chiffre selon le numéro de puissance :
      1 8
      2 64
      3 512
      4 4096

      5 32768
      6 262144
      7 2097152
      8 16777216

      9 134217728
      10 1073741824
      11 8589934592
      12 68719476736

      Donc pour 88, le dernier chiffre est 6 (88 est multiple de 4, donc c’est le dernier chiffre de la série)

      Le code est : 2806