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Énigme de la semaine 33

par MOTTIER Pierre

Énigme olympique.

(Extrait du forum des énigmes mathématiques du site « l’île des mathématiques »)

Sur la circonférence d’une zone circulaire enneigé de 100 mètres de diamètre, on a disposé 8 anneaux numérotés de 1 à 8 régulièrement espacés (voir figure ci-dessous).
Un skieur part de l’anneau numéro 1, et doit ramasser les sept autres anneaux. Il ne peut se déplacer qu’en ligne droite entre deux anneaux.

Question : Dans quel ordre le skieur doit-il ramasser les anneaux afin que la distance totale parcourue soit maximale ?

Pour la réponse, je veux :

  • la liste des anneaux dans l’ordre (donc une suite de huit chiffres qui commence par le 1) ;
  • la distance totale parcourue (en mètres, avec précision au centimètre).

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Le skieur ramasse les anneaux dans l’ordre suivant : 15263748
    La distance qu’il a parcourue pour collecter les anneaux est de 677,16 m

    Notations :
    d : distance parcourue au total par le skieur
    r : rayon du cercle (50m)
    a : distance entre les couples d’anneaux suivants 2,5 3,6 4,7

    Détermination du parcours maximal :
    En utilisant geogebra, on détermine le parcours correspondant à la plus grande distance (cf 33_ski_jo.ggb) :
    $ d = 4 (2r) + 3 a $

    Calcul de la distance a :
    Le triangle ABC est isocèle en A :
    $ (180-45) + 2 \alpha = 180$
    $ \alpha = 22,5 $°

    Formule trigonométrique :
    $ \cos \alpha = \frac {\frac {a} {2} } {r}$
    $ a = 2r \cos \alpha$

    Calcul de la distance parcourue :

    $ d = 4 (2r) + 3 a $
    $ d = 4 (2r) + 3 (2r \cos \alpha) $
    $ d = 2r (\cos (\alpha) + 4 )$
    $ d = 100 (3 \cos (22,5) + 4) $
    $ d = 677,16 m$