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Énigme de la semaine 3

par MOTTIER Pierre

Exercice vache.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Sentant sa fin prochaine, un fermier décide de partager son cheptel entre ses trois fils.

Ce cheptel de trente vaches et soixante veaux est constitué de :

  • dix vaches blanches ayant chacune trois veaux,
  • dix vaches noires ayant chacune deux veaux,
  • dix vaches rousses ayant chacune un veau.
     
     

Le fermier définit alors les conditions de partage suivantes :

  • les trois fils auront le même nombre de vaches et le même nombre de veaux ;
  • aucun veau ne devra être séparé de sa mère ;
  • chaque fils recevra au moins une vache de chaque couleur ;
  • aucun fils n’aura plus de la moitié des vaches d’une même couleur.

Comment peut-on effectuer ce partage ?

Messages

  • Je regroupe les vaches et les veaux qui vont ensemble.
    Je cherche les multiples qui sont inférieurs à la moitié du nombre de vaches et de veaux de chaque type, permettant d’obtenir comme somme 30 vaches et veaux pour chaque répartition. Enfin j’obtiens le résultat ci-dessous :

    1 b n r
    vaches
    3
    4
    3
    veaux
    9
    8
    3
    2 b n r
    vaches
    3
    4
    3
    veaux
    9
    8
    3
    3 b n r
    vaches
    4
    2
    4
    veaux
    12
    4
    4
  • Pour le fils i, on appellera :

    • bi le nombre de vaches blanches, $1 \le b_i \le 5$
    • ni le nombre de vaches noires, $1 \le n_i \le 5$
    • ri le nombre de vaches rousses, $1 \le r_i \le 5$

    On aura :
    $\sum_i b_i=10$
    $\sum_i n_i=10$
    $\sum_i r_i=10$

    Mais aussi, pour tout i :
    $b_i+n_i+r_i=10$

    Le nombre de veaux de chaque fils est de 20, donc on aura :
    $3b_i+2n_i+r_i=20$

    Remarques préliminaires :

    • Si bi est pair, alors ri est pair aussi.
      • Dans ce cas, bi=2 est-il possible ? Non, car $\{2, 5, 4\}$ ne fonctionne pas car 11 vaches et $\{2, 6, 2\}$ impossible (règle n°4).
      • ou bien, bi=4 est-il possible ? Oui, car $\{4, 2, 4\}$ fonctionne (10 vaches et 20 veaux), mais $\{4, 3, 2\}$ ne fonctionne pas car 9 vaches.
    • Si bi est impair, alors ri est impair aussi.
      • Dans ce cas, bi=1 est-il possible ? Non, car $\{1, 8, 1\}, \{1, 7, 3\}, \{1, 6, 5\}$ ne fonctionne pas (règle n°4).
      • ou bien, bi=5 est-il possible ? Non, car $\{5, 2, 1\}, \{5, 1, 3\}, \{5, 0, 5\}$ ne fonctionne pas (pas le bon nombre de vache ou règle n°3 ou règle n°4).
      • ou bien, bi=3 est-il possible ? Oui, car $\{3, 4, 3\}$ fonctionne, mais pas $\{3, 5, 1\}$ et $\{3, 3, 5\}$.

    Bilan :
    Les combinaisons $\{4, 2, 4\}$ et $\{3, 4, 3\}$ sont les seules possibles.
    Ça tombe bien car 4 + 3 + 3 = 10 et 2 + 4 + 4 = 10, mais 4 + 4 + 3 = 11 et 2 + 2 + 4 = 8 !

    Ainsi la seule répartition possible est :

    Est-ce que c’est clair ?

    Sinon, le premier fils aura 4 vaches blanches, 2 vaches noires et 4 vaches rousses, tandis que le deuxième et le troisième fils auront 3 vaches blanches, 4 vaches noires et 3 vaches rousses. Et tout ça avec 20 beaux petits veaux : pour le premier 12 veaux blancs, 4 veaux noirs et 4 veaux roux ; pour le deuxième et le troisième, 9 veaux blancs, 8 veaux noirs et 3 veaux roux chacun.