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Énigme de la semaine 27

par MOTTIER Pierre

Sangaku.

(Extrait du Rallye mathématiques de l’académie de Lyon)

ABC est un triangle rectangle isocèle. Les deux cercles sont tangents entre eux, et tangents en A et B à la droite (AB).

Exprimer le plus simplement possible l’aire du triangle ABC en fonction des rayons r et R des deux cercles.

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Messages

  • J’utilise allègrement les théorèmes de Thalès et de Pythagore dans les triangles semblables OAA1 et OBB1 afin de déterminer la longueur AB (voir figure dans le fichier Geogebra).

    Soit r et R les rayons des cercles de centres A1 et B1 respectivement. $rp>

    $\text{D’une~;part, \qquad }\frac{OA_1}{OB_1}=\frac{r}{R} \text{ \qquad avec \qquad }OB_1=OA_1+r+R$
    $OB_1=R.\frac{R+r}{R-r}$
    $\text{D’autre~;part, \qquad } OB_1²=OB²+R²$
    $OB=2\frac{R}{R-r}\sqrt{Rr}$
    $\text{Ensuite, \qquad } \frac{OA}{OB}=\frac{r}{R} \text{ \qquad avec \qquad }AB=OB-OA$
    $Soit$
    $AB=\frac{R-r}{R}OB$
    $\text{Donc,\ }$
    $AB=2\sqrt{Rr}$

    Dans le triangle isocèle ABC, on peut écrire :

    $\text{L’aire~;du~;triangle~;ABC~;vaut~; :}$
    $Aire=\frac{1}{2}\left( \frac{AB}{\sqrt{2}} \right)^2$
    $Aire=\color{red}Rr$

  • Bonjour Sherlock,

    La surface du triangle est rR .

    Notations :
    r : rayon du petit cercle de centre o1
    R : rayon du grand cercle de centre o2
    x : longueur de la base du triangle ABC (x=AB)
    S : aire du triangle ABC
    h : hauteur du triangle ABC

    Calcul de la base du triangle : (1)
    Pythagore sur le triangle rectangle ayant pour hypothénuse o1o2 (=r+R) :
    $ x^2+ (R-r)^2 = (r+R)^2 $
    $ x^2= (r+R)^2 - (R-r)^2 $
    $ x^2= (r+R -(R-r))(r+R + (R-r)) $
    $ x^2= 4rR $

    Calcul de l’aire du triangle : (2)
    $ S=\frac { xh} {2} $
    Le triangle est rectangle en C , et isocèle :
    $ tan(45) = \frac {h} {\frac {x} {2}} $
    $ 1 = \frac {h} {\frac {x} {2}} $
    $ h= \frac {x} {2} $
    En remplaçant h dans S :
    $ S=\frac { x^2} {4} $
    En remplaçant x par l’expression (1) :
    $ S=\frac { 4rR} {4} $
    $ S=rR $