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Énigme de la semaine 27

par MOTTIER Pierre

Petit sablé.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Pour réaliser un tas de sable, Albert creuse un fossé dont les parois sont verticales et dont la base est délimitée par deux cercles dont l’un a un rayon double de l’autre.
Avec tout le sable extrait il forme au milieu un cône de révolution dont la base coïncide parfaitement avec le disque autour duquel il a creusé. Tout à coup, le père d’Albert lui demande de s’arrêter de creuser et constate :
« Le tas de sable a la forme d’un cône de révolution. En plus, si tu te tiens debout au fond du fossé , le sommet du tas de sable est exactement à la même hauteur que le sommet de ta tête ».
À ce moment précis, le fossé creusé par Albert a 15 cm de profondeur.

Quelle est la taille du jeune Albert ?

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Albert mesure 1,5m.

    Notations :
    H : taille d’Albert
    h : profondeur du fossé (0,15m)
    H-h : hauteur du cône
    V : volume du fossé
    V : volume du cône de sable
    r : rayon de la base du cône
    2r : rayon du bord extérieur du fossé

    Volume du fossé (1) :
    $ V = ((2r)^{2} \pi - r^{2} \pi) h$

    Volume du cône (2) :
    $ V = \frac {\pi r^{2}} {3} (H -h) $

    Calcul de la taille d’Albert :
    (1) = (2)
    $ ((2r)^{2} \pi - r^{2} \pi) h = \frac {\pi r^{2}} {3} (H -h)$
    $ (4 - 1) h = \frac {1} {3} (H - h)$
    $ H = 10 h $
    $ H = 1,5m $