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Énigme de la semaine 26

par MOTTIER Pierre

Pas habituel.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

 
Pour traverser un centre commercial, Victorien emprunte un trottoir roulant, sur lequel il marche, de son pas habituel, pour gagner du temps. Il va ainsi d’une extrémité à l’autre de ce trottoir en 1 min 12 s.
Un jour, il fait l’expérience de remonter ce trottoir à contre-sens, en marchant toujours de son pas habituel. il lui faut 6 min pour y parvenir.
Le lendemain, le trottoir roulant est en panne. Combien de temps Victorien met-il alors pour aller d’une extrémité du trottoir roulant à l’autre en se déplaçant, bien sûr, de son pas habituel ?

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Lorsque le tapis roulant est en panne Victorien met 3 minutes pour traverser

    Notations :
    d : longueur du tapis roulant
    $ v_{t} $ : vitesse du tapis
    $ v_{v} $ : vitesse de marche de Victorien
    $ t_{1} $ : durée de traversée le 1er jour (1min 12s = 72s)
    $ t_{2} $ : durée de traversée le 2e jour (6 minutes = 360s)
    $ t_{3} $ : durée de traversée le 3e jour

    Calculs :
    Le 1er jour (1) :
    $ d = v_{t} t_{1} + v_{v} t_{1} $

    Le 2e jour Victorien marche dans l’autre sens (2) :
    $ d = v_{t} t_{2} - v_{v} t_{2}$ Oups ! C’est l’opposé ici, je crois ! $ \color{red}{d = v_{v} t_{2} - v_{t} t_{2}}$

    Le 3e jour le tapis est en panne (3) :
    $ d = v_{v} t_{3}$

    (1) -(2) :
    $\color{blue} { d = v_{t} t_{1} + v_{v} t_{1}} $ donne $\color{blue} { v_{t} = \frac{d}{t_1}- v_{v} }$
    Et $ \color{blue}{d = v_{t} t_{2} - v_{v} t_{2}}$ donne $\color{blue}{ d = \frac{dt_2}{t_1}- v_{v}t_2- v_{v} t_{2}} $ soit $\color{blue}{ d \left(1-\frac{t_2}{t_1} \right)=-2 v_{v}t_2} $  : cette ligne comporte une erreur et est remplacée par :

    $ \color{red}{d = v_{v} t_{2} - v_{t} t_{2}}$ donne $\color{red}{ d = v_{v} t_{2}-\frac{dt_2}{t_1}+ v_{v}t_2} $ soit $\color{red}{ d \left(1+\frac{t_2}{t_1} \right)=2 v_{v}t_2} $

    $ 2 v_{v} = d (\frac 1 {t_{1}} - \frac 1 {t_{2}})$ est alors remplacé par $ \color{red}{2 v_{v} = d (\frac 1 {t_{1}} + \frac 1 {t_{2}})}$

    $ 2 (\frac d {t_{3}} )= d (\frac {1} {t_{1}} - \frac {1} {t_{2}}) $ devient $ \color{red}{2 (\frac d {t_{3}} )= d (\frac {1} {t_{1}} + \frac {1} {t_{2}})} $
    $ t_{3} = 2 (\frac {1} {\frac {1} {t_{1}} - \frac {1} {t_{2}}}) $ devient $ \color{red}{t_{3} = 2 (\frac {1} {\frac {1} {t_{1}} + \frac {1} {t_{2}}})} $
    $ t_{3} = 2 (\frac {1} {\frac {1} {72} - \frac {1} {360}}) $ devient $ \color{red}{t_{3} = 2 (\frac {1} {\frac {1} {72} + \frac {1} {360}})} $
    $ t_{3} = 180$ devient $ \color{red}{t_{3} = 120}$ soit 2 minutes
    Durée de traversée : 3 minutes

    • Bonjour NDW,

      J’étais un peu embrouillé par une solution (erronée...) antérieure à la tienne, et, perdu dans les calculs, je me suis permis de prendre quelques notes en bleu dans ton texte pour m’y retrouver. J’espère que tu ne m’en voudras pas !

      À bientôt !

      Signé : Sherlock Tux

    • Mais je vérifie la solution antérieure et elle me paraît correcte aussi, tout en me donnant un résultat différent du tien ???!!!
      Que se passe-t-il ???!!!

      Voici l’autre solution, proposée par Gilles Claudel :
      Soit $v_t$ la vitesse du trottoir roulant. Soit $v$ la vitesse de déplacement habituelle de Victorien.
      On pose : $t_1$ = 1 min 12 s et $t_2$ = 6 min.
      À partir des deux premières situations, on peut écrire :
      $(v+v_t)t_1=(v-v_t)t_2$
      $\frac{v}{v_t}=\frac{t_2+t_1}{t_2-t_1}$
      $\frac{v}{v_t}=\frac{3}{2}$

      Soit $t_3$ la durée pour parcourir le trottoir à l’arrêt :
      $vt_3=(v-v_t)t_2$
      $t_3=\left(1-\frac{v_t}{v}\right)t_2$
      $t_3=\frac{t_2}{3}$

      Victorien met donc 2 min pour parcourir d’une extrémité à l’autre le trottoir en panne.

    • Ah ! Ça y est, je crois que j’ai trouvé...
      Bon, je prends quelques notes en rouge dans ton texte pour voir si cela m’amène à lever ce petit paradoxe...

    • Bonjour Sherlock,

      Merci beaucoup pour la correction :-) !
      Effectivement la vitesse du tapis est inférieure à celle de Victorien (sinon il n’aurait pas pu traverser dans l’autre sens :-)) ).