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Énigme de la semaine 26

par MOTTIER Pierre

Boum.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Deux circuits circulaires $C_1$ et $C_2$ de même rayon passent chacun par le centre de l’autre et se coupent en A et B.
La voiture 1 tourne à vitesse constante dans le sens des aiguilles d’une montre sur la piste $C_1$ et effectue le tour en 1 min 12 s.
La voiture 2 tourne à vitesse constante dans le sens des aiguilles d’une montre sur la piste $C_2$ et effectue le tour en 1min 15 s.
À l’instant initial, la voiture 1 passe au point A et la voiture 2 au point B.
Dans combien de temps y aura-t-il collision ?

Solution

Soit $O_1$ et $O_2$ les centres des cercles.
Les triangles $O_1O_2A$ et $O_1O_2B$ étant équilatéraux, le petit arc $\overset{\frown}{AB}$ représente $\frac{1}{3}$ de la circonférence.
$V_2$ fait un tour complet en 75 s et $V_1$ fait un tour complet en 72 s, d’où les temps de passages de $V_1$ et $V_2$ aux points $A$ et $B$, en secondes :

$A_1$ : 0 ; 72 ; 144 ; 216 ; 288 ; 360 ; 432 ; 504 ; 576 ; 648
$A_2$ : 25 ; 100 ; 175 ; 250 ; 325 ; 400 ; 475 ; 550 ; 625

$B_1$ : 24 ; 96 : 168 ; 240 ; 312 ; 384 ; 456 ; 528 ; 600
$B_2$ : 0 ; 75 ; 150 ; 225 ; 300 ; 375 ; 450 ; 525 ; 600

La collision se produit au point B après 10 minutes.