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Énigme de la semaine 25

par MOTTIER Pierre

C’est pas du toc.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Leonardo admire dans la vitrine d’une bijouterie un pendentif posé sur un présentoir conique.
Le bijou est constitué d’une lourde pierre précieuse suspendue en un point P à une fine chaînette d’or.
La chaînette suit sur le cône une courbe qui est le plus court chemin allant de P à P en faisant le tour du cône.
Le diamètre de la base du cône est égal à 21 cm, la distance SA égale à 35 cm et la distance SP égale à 30 cm. On voudrait connaître la longueur de la chaînette.

Construire à l’échelle 1:5 le patron de la surface latérale du cône après découpage suivant la droite (SP).
Sur ce patron, tracer la ligne de contact de la chaînette avec le cône puis calculer la longueur de la chaînette.
 
 

Solution

On déroule la surface latérale pour la mettre à plat, obtenant un secteur de disque.
Sur cette surface rectifiée, le chemin le plus court de P à P’ est le segment de droite [P’P] : c’est « la ligne de contact » de la chaînette avec le cône.
Le périmètre de la base et $21\pi$ et celui du cercle de centre S et de rayon 35 cm est $70\pi$.
D’où $\widehat{PSP’}=360^{\circ}\times\frac{21\pi}{70\pi}=108^{\circ}$.
Soit H le milieu de [P’P]. H est aussi pied de la hauteur issue de S dans le triangle PSP’. Et [SH) est la bissectrice de $\widehat{PSP’}$.
Dans le triangle SHP, rectangle en H, $\sin\widehat{PSH}=\frac{PH}{PS}$
Donc $P’P=2\times PS\times\sin\widehat{PSH}$
L’application numérique donne : $P’P\approx48,5$ cm.
La longueur de la chaînette est environ égale à 48,5 cm.