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Énigme de la semaine 23

par MOTTIER Pierre

Boule à venir.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Madame Lune a malencontreusement cassé sa boule de cristal. Or, pour prédire l’avenir, il lui faut une boule de même rayon. Pour déterminer ce rayon, elle s’adresse au professeur Tournesol. Il utilise un sphéromètre.
C’est un appareil qui permet de calculer le rayon d’une boule solide.
Sa base est constituée de trois pieds formant un triangle équilatéral de côté 9 cm.
Le pointeau central est porté par la droite perpendiculaire au plan de la base passant par son centre de gravité.
Les trois pieds reposant sur un morceau de la boule, on déplace le pointeau jusqu’à ce qu’il touche la sphère et l’appareil indique une distance de 2 cm de l’extrémité du pointeau au plan de la base.
Calculer le rayon de la boule de cristal ... et prédire l’avenir.

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    Le rayon de la boule est de 7,75 cm.

    Notations :
    a : distance entre les pieds du sphéromètre (9cm)
    r : distance entre le pointeau et chacun des pieds
    l : hauteur du triangle équilatéral formé par les pieds
    h : déplacement du pointeau (2 cm)
    R : rayon de la boule

    Calcul de r :
    $\frac {l} {\frac {a} {2}} = \tan 60$ (triangle ABE)
    $\frac {l-r} {\frac {a} {2}} = \tan 30$ (triangle AGE)

    $\frac {l} {l-r} = \frac {\tan 60} {\tan 30} = 3$
    $ r = \frac {2} {3} l$ (le pointeau correspond au centre de gravité du triangle)

    $ \frac {l} {\frac {a} {2}} = \tan 60$
    $ l = \frac {a} {2} \tan 60$

    $ r = \frac {2} {3} (\frac {a} {2} \tan 60)$

    Calcul de R :
    Application de pythagore (sur le triangle MG’B’) :
    $ (R - h)^{2} + r^{2} = R^{2}$
    $ R^{2} -2 Rh + h^{2} + r^{2} = R^{2}$
    $ R = \frac { h^{2} + r^{2}} {2h}$
    $ R = \frac {h^{2} + (\frac {2} {3} (\frac {a} {2} \tan 60))^{2}} {2 h}$
    $ R = \frac {2^{2} + (\frac {2} {3} (\frac {9} {2} \tan 60))^{2}} {4}$
    $ R = 7,75 cm$