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Énigme de la semaine 22

par MOTTIER Pierre

À faire tourner les têtes pensantes...

(Extrait du Rallye mathématique d’Aquitaine)

À la fête foraine, Xavier (X), Claude (C1), Christian (C2) et Gabriel (G) osent s’aventurer dans un manège mathématique. Cette attraction propose à nos quatre intrépides de prendre place dans une nacelle carrée, chacun à un sommet. La nacelle se déplace alors sans glisser autour d’une base fixe qui a la forme d’un triangle équilatéral. Ce mouvement se résume à une succession de rotations autour d’un sommet de la nacelle en contact avec la base en suivant ce schéma :

La nacelle s’arrêtera lorsque les quatre casse-cou auront retrouvé chacun leur position initiale.

  1. Combien de tours de la base la nacelle aura-t-elle alors effectués ?
  2. Quelle est la longueur de la trajectoire de Xavier, sachant que la nacelle est un carré de côté 1 m.

Solution


La trajectoire de Xavier est représentée :

  • en vert pour le 1er tour ;
  • en bleu pour le 2e tour ;
  • en rouge pour le 3e tour ;
  • en noir pour le 4e tour.

Et on revient au point de départ dans la position initiale exactement.
4 tours sont donc nécessaires.