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Énigme de la semaine 22

par MOTTIER Pierre

Croissez et multipliez.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Aurélie s’intéresse à trois types de bactéries désignées par les lettres A, B, C .
A l’instant initial, elle a le même nombre de bactéries de chacune des trois espèces.
Mais ensuite, le nombre de bactéries A doublera toutes les 2 heures, le nombre de bactéries B triplera toutes les 3 heures, le nombre de bactéries C sera multiplié par 5 toutes les 5 heures.

Quelle est l’espèce dont la population se développera le plus vite ? le moins vite ? Expliquer.

Solution

Deux populations sont clairement comparables pour des multiples communs de leurs « périodes ».

Heures
6
10
12
24
30
A
8
32
64
4 096
32 768
B
9
81
6 561
59 049
C
25
15 625

Après 24 heures, le classement est déjà bien établi : il faudrait attendre 25 heures pour que C = 3 125.
Après 30 heures, on a $5^6<2^{15}<3^{10}$.
Le classement est alors : C < A < B .
Remarque : En calculant successivement $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ et $\sqrt[5]{5}$, on voit que les populations A, B et C augmentent respectivement d’environ 41,4%, 44,2% et 38% par heure.