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Énigme de la semaine 21

par MOTTIER Pierre

Y’a pas de meuh !

(D’après Rallye mathématique d’Aquitaine)

L’entreprise Kivendulé ne vend que du lait liquide ou du lait en poudre.

Afin de connaître davantage ses clients potentiels, elle organise un sondage.

Voici les résultats :

  • un tiers des personnes interrogées n’achète jamais de lait en poudre ;
  • les deux septièmes des personnes interrogées n’achètent jamais de lait liquide ;
  • 427 personnes achètent du lait liquide et du lait en poudre ;
  • un cinquième des personnes interrogées n’achète jamais de lait.

Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ?

Solution

Les personnes interrogées se divisent en 4 catégories :
Catégorie L : ceux qui n’utilisent que du lait Liquide
Catégorie P : ceux qui n’utilisent que du lait en Poudre
Catégorie D : ceux qui utilisent les Deux (427 personnes)
Catégorie R : ceux qui n’utilisent Rien.

Si $x$ désigne le nombre de personnes interrogées, on peut écrire que $\frac{1}{3}x$ représente le nombre de personnes dans les catégories L et R.
Ainsi le nombre de personnes de la catégorie L est $\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}x=\frac{2}{15}x$.
De même \frac27x est le nombre de personnes dans les catégories P et R.
Ainsi le nombre de personnes de la catégorie P est $\frac{2}{7}x-\frac{1}{5}x=\frac{3}{35}x$.
Par conséquent, comme la somme des 4 effectifs est égale à l’effectif total, on peut écrire : $\frac{2}{15}x+\frac{3}{35}x+427+\frac{1}{5}x=x$.
Ce qui donne, après résolution, $x =735$ qui est le nombre de personnes interrogées.

Autre raisonnement possible :
On recherche un nombre entier supérieur à 427 qui est divisible par 3, par 5 et par 7.
Donc c’est un multiple de 105 : 105 ; 210 ; 315 ; 420 ; 525 ; 630 ;735 ; 840 ; 945 etc.
En testant, 735 est le seul nombre qui convient.