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Énigme de la semaine 20

par MOTTIER Pierre

Ne compte pas pour des clous.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)
 
 
Sur le pourtour d’une roue de loterie bien équilibrée, on a planté des clous à intervalles réguliers. La roue est partagée en 4 secteurs de couleurs différentes bleu, blanc, rouge et noir, délimités par des rayons passant par certains des clous.
Dans le secteur blanc, il y a un clou de moins que dans le secteur rouge, mais un de plus que dans le secteur bleu.
 
 
On fait tourner la roue d’un geste vigoureux. Un cliquet freine son mouvement mais on ne sait pas prévoir où elle va s’arrêter.

  • La probabilité qu’elle s’arrête sur le secteur rouge est de $\frac{1}{3}$.
  • La probabilité qu’elle s’arrête sur le secteur bleu est de $\frac{3}{10}$.

 
Quelle est la probabilité qu’elle s’arrête sur le secteur noir ?

Messages

  • Soient i le nombre de clous et x le nombre de clous dans le secteur blanc.
    le secteur rouge : 1/3 = (x+1)/i
    le secteur bleu : 3/10 = (x-1)/i
    1/3 = 20/60
    3/10 = 18/60
    i = 60
    x= 20-1=19 ou x=18+1 = 19
    secteur blanc : 19/60
    le secteur noir : 1-3/10-19/60-1/3=(60-20-19-180)/60=3/60=1/20
    la probabilité qu’elle s’arrête sur le secteur noir est de 1/20.

  • Bonjour Sherlock,

    La probabilité d’arrêt sur le noir est 1/20

    Notations :
    $ P_{rou} = $ probabilité d’arrêt sur le rouge $ = \frac {1} {3} $
    $ P_{noi} = $ probabilité d’arrêt sur le noir
    $ P_{bla} = $ probabilité d’arrêt sur le blanc
    $ P_{ble} = $ probabilité d’arrêt sur le bleu $= \frac {3} {10} $

    $ N = nombre de clous dans la partie rouge $
    $ N -1 = nombre de clous dans la partie blanche $
    $ N -2 = nombre de clous dans la partie bleue $

    Angle de la zone rouge : $ 360 \frac {1} {3} $ = 120°
    Angle de la zone bleue : $ 360 \frac {3} {10} $= 108°

    Calcul de N :
    La somme des probalilités de toutes les couleurs est de 1 :
    $ P_{rou} + P_{ble} + P_{noi} + P_{bla} = 1 $
    $ P_{noi} + P_{bla} = 1 - (\frac {1} {3}+ \frac {3} {10} ) = \frac {11} {30} $

    Les clous sont également répartis :
    Si pour N clous l’angle est 120°, et pour N-2 l’angle est de 108° :
    $ 108 \frac {N} {120} = N-2$
    $ N= 20$ (rouge)
    $ N-1= 19$ (blanc)
    $ N-1= 18$ (bleu)

    Angle de la zone blanche : $ 120 \frac {N-1} {N} $ = 114° (N correspond à 120°, donc N-1 correspond à 108°)
    Angle de la zone noire : $ 360 -(120 + 108 +114) =18° $

    Calcul de la probabilité d’arrêt dans la zone noire :
    $ P_{noi} = \frac {18} {360} $
    $ P_{noi} = \frac {1} {20} $

    Vérification :
    $ P_{noi} + P_{bla} = \frac {1} {20} + \frac {114} {360} = \frac {11} {30} $