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Énigme de la semaine 2

par MOTTIER Pierre

Triangles à gogo !

(Extrait du Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques)
1. Placez tous les chiffres de 1 à 6 dans les petits triangles blancs (un chiffre par triangle) : le nombre inscrit dans chaque petit triangle noir doit être égal à la somme des trois chiffres écrits dans les triangles blancs qui l’entourent.

2. Combien voyez-vous de triangles équilatéraux dans la figure ci-dessus ?

Solution

1. Listons les façons possibles d’obtenir 10, 12 et 14 :
1 + 3 + 6 = 10
1 + 4 + 5 = 10
2 + 3 + 5 = 10

1 + 5 + 6 = 12
2 + 4 + 6 = 12
3 + 4 + 5 = 12

3 + 5 + 6 = 14

Essayons de placer 3, 5 et 6 autour de 14.
3 ne peut pas être en position e : on ne peut en effet pas placer 5 autour de 12 et 14 à la fois alors qu’il devrait intervenir dans les deux sommes.
5 ne peut pas non plus être en position e car alors 3 ou 6 devrait se trouver également autour de 12 (mais doit aussi se trouver autour de 14).
C’est donc 6 qui est en position e : il n’y a pas d’autre possibilité.

Les sommes disponibles qui restent sont donc :
1 + 4 + 5 = 10
2 + 3 + 5 = 10

2 + 4 + 6 = 12

3 + 5 + 6 = 14

3 ne peut pas être en position c puisque 5 n’est pas disponible pour obtenir la somme 10.
C’est donc 5 qui est en position c. Et 3 est en position f.

Les sommes possibles sont donc alors :
1 + 4 + 5 = 10

2 + 4 + 6 = 12

3 + 5 + 6 = 14

Il y a donc une unique solution :

2. Il y a 9 petits triangles équilatéraux, 3 moyens et 1 grand, soit 13 triangles équilatéraux en tout.