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Énigme de la semaine 19

par MOTTIER Pierre

Un extraterrestre.

Voici la tête d’extraterrestre dessinée par Pierre.
Le visage est un cercle de 15 cm de rayon.
Les yeux sont des cercles tangents au tour du visage.
La bouche est un cercle tangent aux yeux et au menton.
Quel est le rayon du cercle représentant la bouche ?

Solution

Le triangle ABC est rectangle en A donc, d’après le théorème de Pythagore :
$BC^2=AB^2+AC^2\\ AC^2=BC^2-AB^2\\ AC^2=(7,5+x)^2-7,5^2\\ AC^2=x^2+15x \quad(1)$

De plus, $C\in[AD]$
Donc, $AC+CD=AD\\ AC=AD-CD\\ AC^2=(AD-CD)^2\\ AC^2=(15-x)^2\\ AC^2=x^2-30x+225 \quad(2)$

De (1) et (2), on tire :
$x^2-30x+225=x^2+15x\\ 45x=225\\ x=5$