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Énigme de la semaine 19

par MOTTIER Pierre

Auf dem Kopf !

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Après un repas bien arrosé, le capitaine Haddock se fait sermonner par Tintin :

 
 
 
« Capitaine, ce n’est plus possible ! Sur cette table, la bouteille de whisky était encore pleine hier, et maintenant la hauteur du liquide n’est plus que de 14 cm. »
 
 
 
« Mille millions de mille sabords », répond le capitaine en retournant la bouteille, « le whisky arrive encore à 19 cm au-dessus du bouchon ! »
 
 
 
 
 
 
Sachant que la bouteille a une contenance de 0,76 litre jusqu’en dessous du bouchon, calculer en cm3 le volume du whisky qui s’y trouve encore.

Messages

  • Bonjour,
    Notre réponse se trouve ci-dessous.
    Codialement, BOKHARI Atika & PHAM Q. Trang - 2A

    Soit n le volume de la partie vide au fond de la bouteille.
    Dans la première situation, le volume du liquide est égal à :
    V1 = π x r² x h - n
    V1 = π x 3,5² x 14 - n
    V1 = 14π x 3,5² - n cm³

    Dans la deuxième situation, le volume est égal à la contenance de la bouteille moins le cylindre de 8 cm de haut. La contenance de la bouteille est 0,76 L donc 760 cm³. Donc V2 = 760 - (8π x 3,5² - n)

    Pour obtenir la valeur de n, on doit résoudre l’équation suivante :
    V1 = V2
    14π x 3,5² - n = 760 - (8π x 3,5² - n)
    14π x 3,5² - n = 760 - 8π x 3,5² + n
    14π x 3,5² - 760 = - 8π x 3,5² + 2n
    2n = 22π x 3,5² - 760
    n = 11π x 3,5² - 380

    Le volume de la partie vide mesure alors 11π x 3,5² - 380 cm³.
    V = 14π x 3,5² - n
    V = 14π x 3,5² - (11π x 3,5² - 380)
    V = 3π x 3,5² + 380
    V = 36,75π + 380

    Le volume du liquide est donc 36,75π + 380 cm³ ou approximativement 495,45 cm³.

  • Bonjour Sherlock,

    Il y a environ $495 cm^3$ de whisky.

    Notations :
    $ V_t$ : volume total du contenu de la bouteille (air + whisky) : $760 cm^3$
    $ V_a$ : volume de l’air
    $ V_w$ : volume du whisky
    $ V_d$ : volume delta correspondant au cylindre contenu entre les 2 niveaux (entre position 1 et 2).
    $ h$ : hauteur du cylindre du volume delta (14-8 = 6cm)
    $ D$ : diamètre du cylindre du volume delta (7cm)

    Volume total (air + whisky) : (1)
    $ V_t = V_a + V_w$

    Volume delta :
    Volume du cylindre :
    $ V_d = \pi {\frac {D} {2} }^{2} h$
    $ V_d = 3 {\frac {49} {2} } \pi $

    Si l’on pivote de 180° sur le papier la bouteille qui est en position 2 (le whisky est en haut), on peut visualiser et calculer le volume delta en fonction du volume d’air et de whisky (2) :
    $V_d= V_w - V_a$

    En remplaçant le volume d’air de (2) dans (1) :

    $V_t =(V_w -V_d) +V_w$
    $V_w =\frac{ V_t + V_d} {2}=$
    $V_w = \frac{ 760 + 3 \frac {49 \pi}{2}} {2}$
    $V_w \approx 495,45 cm^3$