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Énigme de la semaine 18

par MOTTIER Pierre

Pense-bête.

(Extrait de Rallye mathématique d’Aquitaine)

Le code du cadenas de Pierre est un nombre de 5 chiffres. Quand sa mémoire lui joue des tours, il utilise un drôle de moyen mnémotechnique : il a écrit, dans son portefeuille, les chiffres 0, 6, 9, 9 et 2 sur une ligne et dans cet ordre.
06992 n’est évidemment pas son code, Pierre est très prudent !
Il sait qu’en inscrivant les différences « positives » entre le premier et le second chiffre, le second et le troisième, le troisième et le quatrième, le quatrième et le cinquième puis entre le cinquième et le premier et en recommençant ensuite la procédure, il obtient à la 2016ème ligne son code secret !
Aidez-le à retrouver son code !

Petite aide :
1ère ligne : 06992
2ème ligne : 63072
3ème ligne : 33754
4ème ligne : …......

Solution

1ère ligne : 06992
2ème ligne : 63072
3ème ligne : 33754
4ème ligne : 04211
5ère ligne : 42101
6ème ligne : 21113
7ème ligne : 10021
8ème ligne :10210
9ère ligne : 12111
10ème ligne : 11000
11ème ligne : 01001
12ème ligne : 11011
13ère ligne : 01100
14ème ligne : 10100
15ème ligne : 11101
16ème ligne : 00110
17ère ligne : 01010
18ème ligne : 11110
19ème ligne : 00011
20ème ligne : 00101
21ère ligne : 01111
22ème ligne : 10001
23ème ligne : 10010
24ème ligne : 10111

25ème ligne : 11000
À partir de la 10ème ligne il se crée une série de 15 nombres qui se répètent.
En enlevant les 9 premières lignes, on obtient :
$2016 - 9 = 2007$
En calculant le nombre de séries de 15 nombres que l’on peut rentrer dans 2007, on obtient :
$2007=15\times133+12\\ 9+12=21$
Il faut donc regarder le nombre situé sur la 21ème ligne de cette série.
Ainsi le code de Pierre inscrit sur la 2016ème ligne est 01111.
(il est très facile de retrouver ce code en rentrant les formules dans un tableur...)