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Énigme de la semaine 16

par MOTTIER Pierre

Un engrenage

On considère l’engrenage ci-dessous constitué des 5 roues.
La roue A a 12 dents.
La roue B a 30 dents.
La roue C a 24 dents.
La roue D a 20 dents.
La roue E a 18 dents.

  1. Combien de tours la roue A doit-elle faire pour que la roue E fasse un tour ?
  2. Combien de tours la roue A doit-elle faire pour que tout l’engrenage revienne dans la position initiale ?
  3. Est-il possible que les cinq flèches soient simultanément dans la position opposée à celle de départ ?
  4. Combien de roues au maximum peuvent être simultanément inversées ?
  5. Proposer un engrenage de 3 roues qui puissent être simultanément inversées.

Solution

  1. Les roues tournent toutes ensemble du même nombre de dents... La roue A doit donc faire un tour et demi pour que la roue E fasse un tour.
  2. Il faut chercher le plus petit multiple commun (PPCM) à 12, 30, 24, 20 et 18.
    $12=2^2 \times 3\\ 30=2 \times 3 \times 5\\ 24=2^3 \times 3\\ 20=2^2 \times 5\\ 18=2 \times 3^2\\ PPCM(12,30,24,20,18)=2^3 \times 3^2 \times 5=360$
    La roue A doit faire 30 tours pour que tout l’engrenage revienne dans la position initiale.
    La roue B aura alors effectué 12 tours, la roue C 15 tours, la roue D 18 tours et la roue E 20 tours.
  3. Il n’est pas possible que les cinq flèches soient simultanément dans la position opposée à celle de départ puisque quand la roue C fait un demi-tour, la roue A fait deux tours complets... Lorsque la flèche de C est à gauche, celle de A est à droite.
  4. Un demi-tour des différentes roues comporte :
    A : $6=2 \times 3 $ dents
    B : $15=3 \times 5 $ dents
    C : $12=2^2 \times 3 $ dents
    D : $10=2 \times 5 $ dents
    E : $9=3^2 $ dents
    Une flèche est inversée quand une roue a effectué un nombre impair de demi-tours. Seul 12 est multiple de 4 et pose un problème... Vue la parité des nombres précédents, les flèches de A et D sont inversées ensemble lorsque A a effectué 5 $\left(\frac{PPCM(6,10)}{6}\right)$ demi-tours, soit 2,5 tours (D a alors effectué 1,5 tour) ; les flèches de B et E sont inversées ensemble lorsque B a effectué 3 $\left(\frac{PPCM(15,9)}{15}\right)$ demi-tours, soit 1,5 tour (D a alors effectué 2,5 tours).
  5. Il suffit de proposer un engrenage de trois roues dont le nombre de dents a une décomposition en produit de facteurs premiers comportant au moins un 2, l’exposant de 2 étant le même pour les trois roues.