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Énigme de la semaine 16

par MOTTIER Pierre

À l’inverse.

(Extrait de Mathématiques sans Frontières)

Au temps des pharaons, les Égyptiens n’écrivaient en général que des fractions unitaires, c’est-à-dire de numérateur égal à 1.
 
Voici une règle du papyrus Rhind pour calculer les deux tiers de toute fraction unitaire de dénominateur impair :
« Calculer les deux tiers d’une fraction impaire. Si l’on te dit « Quel est deux tiers de ... ? », tu fais 2 fois son dénominateur et 6 fois son dénominateur. Le résultat est la somme des deux fractions unitaires obtenues. »
 
Par exemple, deux tiers de $\frac{1}{9}$ c’est : $\frac{1}{18}+\frac{1}{54}$.
 
La règle énoncée est-elle exacte pour toutes les fractions unitaires impaires ?
 
Expliquez votre réponse. Inventez une règle plus simple pour toutes les fractions unitaires paires.

Solution

Une fraction unitaire s’écrit $\frac{1}{d}$ (d étant un entier non nul).
$\frac{1}{2d}+\frac{1}{6d}=\frac{3+1}{6d}=\frac{4}{6d}=\frac{2}{3d}=\frac{2}{3} \times \frac{1}{d}$
La règle énoncée est exacte pour les fractions unitaires, paires ou impaires.

Mais il existe une règle plus simple pour les fraction unitaires de dénominateur paire.
En effet, $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2n}=\frac{1}{3n}$
La règle dans ce cas pourrait être : « Calculer les deux tiers d’une fraction paire. Si l’on te dit « Quel est deux tiers de ... ? », tu fais 3 fois la moitié de son dénominateur. Le résultat est la fraction unitaire obtenue. »