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Énigme de la semaine 15

par MOTTIER Pierre

Transat, l’antique.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Le dossier de la chaise longue pivote autour de l’axe $(AA’)$. Une barre de soutien permet d’en régler l’inclinaison. Cette barre $[BC]$ est liée au dossier en $B$ et pivote autour de ce point. Pour choisir l’inclinaison du dossier, on cale $[BC]$ dans une des encoches $E_1$, $E_2$, $E_3$, … . Ces encoches sont régulièrement espacées entre $E_1$ et $E_5$.
Si $C$ est dans l’encoche $E_3$, alors $(BC)$ est perpendiculaire à $(AB)$.
Si $C$ est dans l’encoche $E_1$, alors $(BC)$ est perpendiculaire à $(AE_1)$.
La longueur $AE_3$ vaut 50 cm et la barre $[BC]$ mesure 30 cm.
Est-il possible de caler la barre $[BC]$ dans l’encoche $E_4$ ? Et dans l’encoche $E_5$ ?
Justifier les réponses.

Solution

En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles $ABE_3$, puis $ABE_1$, il vient $AB=40$ cm, puis $AE_1=10\sqrt{7}$ cm.
L’intervalle entre les encoches est donc $25-5\sqrt{7}$ cm.
Donc $AE_4=75-5\sqrt{7} \approx 61,8$ cm et $AE_5=100-10\sqrt{7} \approx 73,5$ cm.
D’après l’inégalité triangulaire, $E_4$ est accessible, mais $E_5$ est trop lointaine, puisque $AB+BC=70$ cm.