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Énigme de la semaine 14

par MOTTIER Pierre

Bon jeu.

(Extrait du Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques)

Dans ce cryptarithme, chaque lettre remplace un chiffre de 0 à 9. Deux lettres différentes remplacent toujours deux chiffres différents et aucun nombre ne commence par un zéro.
Combien vaut MATH, au maximum ?

Solution

Les unités apportent au plus 1 de retenue car $2+N+U\leqslant2+8+9<20$|.
De même pour les dizaines et les centaines car $1+1+O+E+U\leqslant1+1+8+9<20$ et $1+B+J\leqslant1+8+9<20$.
Raisonnablement, nous pouvons espérer $M=3$.

La somme est alors :
$2012+BON+JEU=3ATH$

$\{B,O,N,J,E,U,A,T,H\}=\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}$

Les congruences ci-dessous sont écrites modulo 9 :
$BON+JEU+MATH\equiv0+1+2+3+4+5+6+7+8+9$ (dans la décomposition décimale, $10^n\equiv1$)
Et $5+BON+JEU \equiv MATH$ (car $2012\equiv5$) soit $BON+JEU-MATH\equiv4$
En additionnant les deux lignes, $2(BON+JEU)\equiv4$ donc, en multipliant par 5, $BON+JEU\equiv2$
L’une ou l’autre des lignes donne : $MATH\equiv7$ soit $M+A+T+H=16$ ou $M+A+T+H=25$

En prenant M=3 cela donne $A+T+H=13$ ou $A+T+H=22$
Les seules façons d’obtenir 22 sont 9+8+5=22 et 9+7+6=22
B+J ne peut être ni 19 ni 18 donc A n’est ni 8 ni 9.

Tentons A=7 : T+H=6 ou T+H=15
Mais dans ce cas, $\{B,J\}=\{8,9\}$. La seule possibilité d’obtenir T+H=15 étant 6+9=15,
On a forcément T+H=6
Possibilités : 3760, 3751, 3742, 3724, 3715, 3706
Pour 3760 ou 3706, il reste les chiffres 1, 2, 4 et 5 possibles pour N et U
et 2+N+U ∈ $\{6,10,16\}$ : aucune combinaison ne convient .
Pour 3751 ou 3715, il reste les chiffres 0, 2, 4 et 6 possibles pour N et U
et 2+N+U ∈ $\{5, 11, 15\}$ : aucune combinaison ne convient .
Pour 3742 ou 3724, il reste les chiffres 0, 1, 5 et 6 possibles pour N et U
et 2+N+U ∈ $\{4, 12, 14\}$ : aucune combinaison ne convient .

Tentons A=6 : T+H=7 ou T+H=16
Dans ce cas $\{B,J\}=\{7,9\}$ ou $\{B,J\}=\{7,8\}$
Il n’est pas possible d’obtenir T+H=14
Donc, T+H=7
La seule possibilité est $\{T,H\}=\{2,5\}$ donc MATH=3652 ou MATH=3625
Il reste 0,1,4,7,8,9
Pour, $\{B,J\}=\{7,8\}$ il faut 1+O+E=15 ou 1+O+E=12 : ce n’est pas possible.
Donc $\{B,J\}=\{8,9\}$
Il reste 0,1,4,7
Et 2+N+U ∈ $\{5,12,15\}$ : impossible.

Tentons A=5 : T+H=8 ou T+H=17
B+J=15 : $\{B,J\}=\{6,9\}$ ou $\{B,J\}=\{7,8\}$
La seule possibilité pour T+H=17 est $\{T,H\}=\{8,9\}$
Il n’est plus alors possible d’obtenir B+J=15
Donc T+H=8 : $\{T,H\}=\{0,8\}$ ou $\{T,H\}=\{1,7\}$ ou $\{T,H\}=\{2,6\}$
Possibilités : 3580, 3571, 3562, 3526, 3517, 3508

Essayons 3580.
Dans ce cas, $\{B,J\}=\{6,9\}$
L’opération peut alors s’écrire :
$2012+9ON+6EU=3580$
Il reste 1, 2, 4 et 7
Ça marche... Par exemple :
$2012+927+641=3580$

On a démontré (et ceux qui auront bien tout suivi en seront convaincus) que MATH vaut au maximum 3580.