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Énigme de la semaine 13

par MOTTIER Pierre

Octogone.

En joignant le milieu de chaque côté d’un rectangle aux extrémités du côté opposé, on obtient un octogone.
Quelle fraction de l’aire du rectangle l’aire de l’octogone représente-t-elle ?

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    La surface de l’octogone représente 1/6 (environ 16,6%) de la surface du rectangle

    Calculs (application du théorème de Thalès) :
    (1) : $ \frac {DH} {GK} = \frac {DA} {GA}$
    $ GK = {DH}\times \frac {GA} {DA} = \frac {a} {4}$
    $ GK = OK $ (car : $ OK = OG -GK = \frac {a} {2} - \frac {a} {4} = \frac {a} {2}$ )

    (2) : $ \frac {DG} {MH} = \frac {DC} {DH}$
    $ MH = {DG}\times \frac {DH} {DC} = \frac {b} {4}$
    $ MH = OM $

    (3) : $ \frac {GO} {OM} = \frac {LT} {TM}$
    $ TM = LT\times \frac {b} {2a}$

    (4) : $ \frac {DH} {OH} = \frac {LT} {OT}$
    $ OT= LT\times \frac {b} {a}$

    (3+4) : $ OT + TM = OM = \frac {b} {4} = LT \left( \frac {b} {a} + \frac {b} {2a} \right) $
    $ LT = \frac {a} {6}$

    (3) : $ TM = {\frac {a} {6}}\times {\frac {b} {2a}} = \frac {b} {12}$

    $ OT = OM -TM = \frac {b} {4} - \frac {b} {12} = \frac {b} {6}$

    Calcul de l’aire de l’octogone :
    $ A_o = 4 ( A_{OTLK} + A_{TML}) $ (4 fois l’aire du trapèze OTLK et 4 fois l’aire du triangle TML (car 2 axes de symétrie (QK) et (IM)))
    $ A_o = 4 ( OT\times \frac {KO+LT} {2} + {LT}\times \frac {TM} {2}) $
    Après remplacement et simplification :
    $ A_o = \frac {a b} {6} $

    Calcul de l’aire du rectangle :
    $ A_r = a b $

    Rapport :
    $ \frac {A_o} {A_r} = \frac {1} {6} $
    $ \frac {A_o} {A_r} \approx 16,6 $ %