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Énigme de la semaine 12

par MOTTIER Pierre

Pakékado.

(Extrait de Mathématiques sans frontières)

Pour Noël, Gabrielle a emballé un cadeau dans une boîte parallélépipédique de dimensions 6 cm × 4 cm × 2 cm.
Elle voudrait le décorer d’un joli ruban disposé comme sur la figure ci-dessous.
Gabrielle a remarqué que lorsqu’elle applique bien le ruban sur les faces de la boîte, au passage de chaque arête, l’angle formé par le ruban et l’arête reste le même d’une face à la suivante.
Elle se demande alors comment elle doit choisir cet angle pour bien revenir au point de départ.
Prolongez un patron de ce paquet cadeau pour dessiner d’un seul tenant le parcours du ruban dans l’ordre des faces traversées.
Déterminez une valeur approchée de l’angle α au degré près.

Messages

  • Bonjour Sherlock,

    L’angle α pour que le ruban revienne au point de départ et qu’il soit à 1,5 cm du bord est d’environ 53°.

    Figure :
    Pour visualiser géométriquement, il faut déplier le paquet cadeau, un parallélépipède rectangle, sur un plan.
    cf figure jointe
    Au passage de chaque arête, l’angle formé par le ruban et l’arête reste le même d’une face à la suivante :
    le ruban forme une droite sur les faces contiguës de la figure dépliée.

    Le passage du ruban est représenté en noir sur la figure par les 3 droites parallèles (et de pente a).
    Il part et arrive en A

    $AB=EG=1,5$
    $BC=HD=x$
    $\widehat{BAC} = \alpha$

    Equations :
    Pour les triangles rectangles ABC et DEF :
    (1) $\tan \alpha = \frac{x}{1,5}$
    (2) $\tan \alpha = \frac{(6-x) + 2}{2+ (4-1,5)}$

    $\frac{x}{1,5} = \frac{(6-x) + 2}{2+ (4-1,5)}$
    $\frac{2}{3} x = (8 - x) \times \frac{2}{9}$
    $9 x = 3 (8 - x)$
    $12 x = 24$
    $x=2$

    $\alpha = \arctan \left(\frac{x}{1,5}\right)$
    $\alpha = \arctan \left(\frac{4}{3}\right)$

    $\alpha = 53,13^{\circ}$

  • Bonjour Monsieur,

    Après avoir obtenu le patron du paquet cadeau avec le parcours du ruban dans l’ordre des faces traversées, on constate que ce parcours est une droite (dessin ci-joint). On utilise la trigonométrie dans un triangle rectangle pour déterminer la mesure de l’angle.

    On a : $\tan a = \frac{14,5}{9,5}$, alors : $\arctan a \approx 56,8$ degrés

  • Téléchargez le fichier Geogebra ci-dessous. Puis cliquez sur ce lien qui ouvrira Geogebra 5.0 (géométrie dans l’espace). Ouvrez alors le fichier téléchargé. Vous pourrez modifier l’angle $\alpha$ et vérifier les résultats de Le Huy et NDW.

    L’animation coupe le ruban s’il ne peut se replier complètement sur une face adjacente et lui donne une longueur infinie s’il tente d’atteindre la face opposée en une seule fois !

    • Cette contribution, cher Gilles, ne restera pas inaperçue !
      Merci !
      Et le jury t’accorde un petit délai vues les circonstances mouvementées auxquelles tu as dû faire face pendant les derniers jours pour permettre (entre autres) aux énigmes de paraître en temps et en heure ce mardi 17 décembre 2013 !

      Signé : Sherlock Tux